|
بررسی ریاضی(سیستم اعداد مانده‌ای)
مقاله بررسی ریاضی(سیستم اعداد مانده‌ای)در 19 صفحه ورد قابل ویرایش
|
|
| دسته بندی | علوم پایه |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 93 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 19 |
بررسی ریاضی(سیستم اعداد مانده‌ای)
سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)
سیستم اعداد مانده‌ای یک سیستم اعداد صحیح است، که مهمترین ویژگی‌اش بطور ذاتی انتقال رقم نقلی مجازی در جمع و ضرب و تفریق‌هاست، همچنین نتجه جمع و تفریق و ضرب اعداد ما در مرحله اول بدون در نظر گرفتن طول اعداد مشخص می‌شود، متأسفانه در سیستم اعداد مانده‌ای عملیات ریاضی دیگری مانند تقسیم و مقایسه و شناسایی علامت خیلی پیچیده و کند هستند از مشکلات دیگر سیستم اعداد مانده‌ای این است که چون با سیستم اعداد صحیح کار می‌کند در نتیجه نمایش اعداد اعشاری در سیستم اعداد مانده‌ای خیلی ناجور است با توجه به خواص سیستم اعداد مانده‌ای نتیجه میگیریم که در اهداف عمومی کامپیوترها (ماشین حساب‌ها) به صورت کاملاً جدی نمی‌تواند مطرح بشود. بهرحال ، برای بعضی از کاربرها که اهداف خاصی دارند مثل بسیاری از انواع فیلترهای دیجیتال، تعداد جمع و ضرب‌هایی که اساساً بزرگتر تعداد و درخواست بزرگی دامنه و شناسایی سرریز، تقسیم و شبیه این‌ها، سیستم اعداد باقیمانده خیلی جذاب و جالب می‌تواند باشد.
1-1) مقدمه
سیستم اعدادمانده‌ای اساساً بوسیله یک مبنای چندتائی (N - تائی) و نه یک مبنای واحد مثل از اعداد صحیح مشخص می‌شود. هر کدام از ها باقیمانده پس از تقسیم یک عدد بر آنها است.عدد صیح X در سیستم اعداد مانده‌ای بوسیلة یک N -تائی مثل نمایش داده می‌شود که هر یک عدد غیرمنفی صحیح است که در رابطة زیر صادق است:
|
|
|
X |
|
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 |
2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 |
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
جدول 1-1 نمایش اعداد در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة
بزرگترین عدد صحیحی است بطوریکه معروف است به باقیمانده X به پیمانة Mi ، و در روش نوشتن اعداد هر دو و با یک مفهوم استفاده می‌شوند.
مثال 1-1 سیستم اعدادمانده‌ای 2- باقیمانده‌ای با پیمانه‌های را ملاحظه کنید در این سیستم نمایش عدد صحیح x=5 به صورت نمایش داده می‌شود که و از رابطه‌های زیر بدست می‌آیند.
چونکه
چونکه
بنابراین در این سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانه‌های و عدد صحیح 5 به صورت (2,1) نشان داده می‌شود.
عدد X لزوماً نباید یک عدد صحیح مثبت باشد بلکه می‌تواند عدد صیح منفی هم باشد برای مثال اگر X=-2 باشد آنگاه
چونکه
چونکه
نکته‌ای که در اینجا وجود دارد این است که ها مثبت تعریف می شوند .
بنابراین عدد صیح -2 در سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانه‌های و بصورت نمایش داده می‌شود.
جدول 1-1 اعداد صحیح در محدودة [-4,8] را در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة نمایش داده است.
همانطور که از جدول 1-1 مشخص است نمایش مانده‌ای یک عدد صحیح منحصر بفرد است در حالی که بر عکس این مطلب درست نیست و نمایش صحیح دو یا چند عددمانده‌ای ممکن است یکسان باشد برای مثال نمایش صحیح (1،1) هم عد یک می‌شود و هم عدد هفت، پس در نتیجه ما باید دامنة اعدادی را که نمایش داده می شوند محدود کنیم، همنطور که از جدول 1-1 مشخص می‌شود نمایش مانده‌ای دوره‌ای است و تکرار می‌شود و در اینجا محدودة تکرارش شش است، ما در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة فقط شش نمایش مختلف دادیم چونکه دو مقدار مختلف سه مدقار مختلف می‌توانند به خود بگیرند، بنابراین ما باید ناحیة نمایش را به شش عدد محدود بکنیم، دو ناحیة‌ممکن در جدول مشخص شده‌اند، اولی و دومی است.
در حالت کلی در سیستم اعدادمانده‌ای می‌توان گفت که تعداد نمایش‌های غیرتکراری برابر است با کوچکترین مضرب مشترک پیمانهها، که به صورت زیر نمایش داده می‌شود.
مثال 2-1
برای جمع دو عدد y=2 , x=1 در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة ، اولین کاری که انجام می‌دهیم این است که هر کدام از این اعداد را در سیستم اعداد مانده‌ای با این پیمانه نمایش می‌دهیم که نمایش این اعداد به ترتیب به صورت (1 ، 1) و (0 ، 2) می‌باشد.
تتیجه نهایی برابر (1 ، 0) در سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانة (3,2) است که نمایشگر عدد 3 می‌باشد. ضرب دو عدد X و در هم نیز به صورت زیر است.
نتیجه ضرب X و Y در همدیگر در این سیستم (2,0) می‌شود که نمایشگر عدد 2 می‌باشد.
برای انجام عمل تفریق اول ما معکوس جمع را تعریف می‌کنیم، معکوس جمع عدد c به پیمانة را به این صورت تعریف می‌کنیم.
چونکه
برای مثال
به بیانی دیگر، معکوس جمع یک عدد را می‌تواند مکمل باقیمانده نسبت به پیمانه‌اش باشد و سپس در ادامه معادله تفریق را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.
در اینجا از تعریف معکوس جمع استفاده می‌کنیم و به شکلی دیگر که در پایین آمده عمل تفریق می‌نویسم.
برای مثال اگر دو عدد Y=3 , X=5 در سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانة داشته باشیم آنوقت عمل تفریق x-y به صورت زیر انجام می‌شود.
که (2,0) نمایشگر مقدار2 می‌باشد.
مثال 3-1
سیستم اعداد مانده‌ای با چهار پیمانه (7,5,3,2) = را در نظر میگیریم در این سیستم‌ها همة پیمانهها دوبه دو نسبت به هم اول هستند پس
حال عمل ضرب و جمع دو عدد X=3 و Y=4 را در این سیستم انجام می‌دهیم که اعداد X=3 و Y=4 در این سیستم به ترتیب با (4,4,1,0) , (3,3,0,1) نمایش داده می شوند .
عمل جمع و ضرب این دو عدد در این سیستم بدینگونه انجام می‌شود.
|
2) |
3 |
5 |
(7 |
|
|
|
|
2) |
3 |
5 |
(7 |
|
|
1) |
0 |
3 |
(3 |
3 |
|
|
|
1) |
0 |
3 |
(3 |
3 |
|
0) |
1 |
4 |
(4 |
× 4 |
|
|
|
0) |
1 |
4 |
(4 |
× 4 |
|
0) |
0 |
12 |
(12 |
12 |
|
|
|
1) |
1 |
7 |
(7 |
7 |
|
0) |
0 |
2 |
(5 |
|
|
|
|
1) |
1 |
2 |
(0 |
|
اعداد (5,2,0,0) و (0,2,1,1) در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة (7,5,3,2) = به ترتیب نمایشگر اعداد 12 و 7 هستند که جواب درست عملیات جمع و ضرب ما می‌باشند. اما وقتی که ما جمع دو عدد 7 و 206 را که در این سیستم اعداد مانده‌ای به ترتیب با (0,2,1,1) و (3,1,2,0) انجام می‌دهیم عدد (3 , 3 , 0 , 1) در این سیستم اعداد مانده‌ای بدست می‌آید که نمایشگر عدد 3 می‌باشد.
فهرست
عنوان صفحه
1-1) مقدمه...................................................................................................... 2
2-1) عملیات ریاضی........................................................................................ 7
1-2-1) معکوس ضرب................................................................................... 10
3-1) سیستم اعدادمبنای در هم وابسطه......................................................... 12
4-1) تبدیل اعداد به سیستم اعداد مانده‌ای و برعکس..................................... 22
1-4-1-) تبدیل اعداد از سیستم باینری به سیستم مانده‌ای .......................... 24
5-1) انتخاب پیمانه........................................................................................... 26
